Реферат: Количество и качество в математике.

Объекты действительности представляют собой единство дискретного и непрерывного (недизъюнктивность). Если в натуральном числе фиксируется дискретность и в связи с этим устойчивость внешней стороны явлений действительности, то в понятии фигуры – непрерывность и тоже устойчивость.

Примечательно, что натуральные числа и фигуры оказываются сходными с чувственными образами в том отношении, что в данных понятиях отображается внешняя сторона предметов действительности. Именно это имел в виду Платон, когда сближал математические абстракции с чувственностью. Но он не учитывал, что отмеченный феномен касается лишь исходных понятий математики.

Абстракции математики многоступенчаты, имеют разную степень общности. На первых этапах ее развития в понятии числа отвлекались от качественных особенностей реальных объектов, позже – от конкретных чисел и величин в результате создания алгебры и введения буквенной символики. Наконец, на современном этапе отвлекаются даже от конкретного содержания зависимостей, так что, например, обычные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление), осуществляемые с абстрактными объектами математических структур, предстают уже в виде абстрактных операций.

Абстракции современной математики в значительной степени отличаются от исходных понятий. Они выражают не только количественную сторону реальных процессов объективной действительности. В противном случае трудно объяснить удивительную, непостижимую «эффективность математики в естествознании», как писал Ю. Вигнер, т. е. тот факт, что ее нынешние модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности.

Кстати, позиция сторонников количественной концепции, т. е. тех, кто предполагает, что математика исследует лишь количественную сторону процессов действительности и убеждены в том, что определения количества (и качества, соответственно) в математике должны быть отличны от философских, выглядит искусственной, неправомерной. Понятие количества и качества должны быть одинаковы для всех наук.

Количество – это и внешнее, и внутреннее, и различное в сходных по качеству объектах, и, вместе с тем, сходное в различных по своему качеству вещах. Это такая определенность предметов, явлений, которая характеризует их величину, форму, интенсивность свойств, темпы развития и т. п.

Попытки в прошлом дать два понятия материи (философское и естественнонаучное) были признаны ошибочными.

Математика в какой-то мере описывает и качественную сторону явлений материальной действительности (правда, частично, косвенно, опосредованно и своеобразно, с помощью особого искусственного языка), тем более, что существует неразрывная связь количества и качества.

Уже исходные категории математики количественную сторону явлений действительности отображают дизъюнктивно и в этом смысле неадекватно, огрублено. В дальнейшем используются понятия более высоких уровней общности (абстракции от абстракций), зачастую не имеющие никакого референта в окружающем мире (например, любой тройке действительных чисел соответствует точка в реальном пространстве трех измерений, а для четверки, пятерки и т. п. чисел адекватны уже так называемые многомерные, параметрические пространства). Тем не менее, современная математика точнее, полнее описывает реальные явления, чем раньше. Это происходит, очевидно, благодаря потенциальным возможностям аксиоматического метода и способностям развитой математики выражать в какой-то мере и качественную сторону процесса действительности. При этом количество не сводится к величинам или выражающим их числам, как это было до второй половины XIX в.