Реферат: Специфика математических абстракций.

Процесс абстрагирования в обычных науках заключается в мысленном отвлечении от несуществующих сторон изучаемого предмета. Однако в математике все оказывается более сложным. Имеются ли такие исходные понятия, которые отображали бы реально существующие свойства и стороны предмета, явления, процесса? Подавляющее большинство ученых дает на этот вопрос отрицательный ответ.

И вот почему. Возьмем, к примеру, такую область математики, как геометрию. В материальной действительности мы, строго говоря, не найдем квадрата, треугольника, прямой линии и тому подобных объектов. Иначе говоря, формирование этих объектов нельзя понимать как результат выделения человеком каких-то математических свойств в явлениях внешнего мира. Они – результат творческого воображения, логического конструирования, идеализации.

Среди ученых бытуют противоположные взгляды, в частности, утверждение о том, что математические свойства и фигуры есть не что иное, как плод чистой фантазии, который ничего общего не имеет с объективной реальностью. Голландский ученый А. Гейтинг писал, что математика «не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями». Это утверждение ставит исследователя на ошибочные позиции наивного реализма, идеализма, априоризма и конвенционализма. А Энгельс писал: «Понятия и фигуры взяты не откуда-нибудь, а из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума». Позже он дополнил свою мысль: «мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума», т. е. до таких понятий, связь которых с окружающим миром непосредственно не просматривается.

Как же исторически и логически происходил процесс образования исходных понятий натурального числа в арифметике и фигуры в геометрии?

Как показывают исследователи древней культуры, в ранний период развития общества люди не имели понятия числа, хотя своеобразный счет ими, конечно, осуществлялся: скажем, величину стада овец они выражали с помощью пальцев рук. Со временем количество объектов стали определять путем отождествления их совокупности с равночисленным множеством других предметов. Например, одна из гипотез об изготовлении гигантских статуй на острове Пасхи звучит так: туземцы вытесывали туловища из серого камня и «парики» из красного в разных каньонах и, не умея считать, они были вынуждены употреблять камешки, сопоставляя их сначала с телами, а потом с головами.

Как мы видим, первоначально человек не отделял количество вещей от них самих, используя так называемые «именованные числа» — две руки, три пальца т т. п. Человек не абстрагировал понятие числа от понятия вещи. Этому он научился значительно позже. Человек начал пользоваться рядом натуральных, порядковых и количественных чисел.